次の式を展開する問題です。 (1) $(x+y+z)^2$ (2) $(a+b-c)^2$ (3) $(x^3-x^2-1)^2$ (4) $(x+y)(x^2-xy+y^2)$ (5) $(x-y)(x^2+xy+y^2)$ (6) $(a-2)(a^2+2a+4)$ (7) $(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)$

1. 問題の内容

次の式を展開する問題です。

(1) $(x+y+z)^2$

(2) $(a+b-c)^2$

(3) $(x^3-x^2-1)^2$

(4) $(x+y)(x^2-xy+y^2)$

(5) $(x-y)(x^2+xy+y^2)$

(6) $(a-2)(a^2+2a+4)$

(7) $(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+y+z)^2$ を展開します。

$(x+y+z)^2 = (x+y+z)(x+y+z) = x^2 + xy + xz + yx + y^2 + yz + zx + zy + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$

(2) $(a+b-c)^2$ を展開します。

$(a+b-c)^2 = (a+b-c)(a+b-c) = a^2 + ab - ac + ba + b^2 - bc - ca - cb + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$

(3) $(x^3-x^2-1)^2$ を展開します。

$(x^3-x^2-1)^2 = (x^3-x^2-1)(x^3-x^2-1) = x^6 - x^5 - x^3 - x^5 + x^4 + x^2 - x^3 + x^2 + 1 = x^6 - 2x^5 + x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 1$

(4) $(x+y)(x^2-xy+y^2)$ を展開します。

$(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3 = x^3 + y^3$

(5) $(x-y)(x^2+xy+y^2)$ を展開します。

$(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3 = x^3 - y^3$

(6) $(a-2)(a^2+2a+4)$ を展開します。

$(a-2)(a^2+2a+4) = a^3 + 2a^2 + 4a - 2a^2 - 4a - 8 = a^3 - 8$

(7) $(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)$ を展開します。

$(x+3y)(x^2-3xy+9y^2) = x^3 - 3x^2y + 9xy^2 + 3x^2y - 9xy^2 + 27y^3 = x^3 + 27y^3$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$

(3) $x^6 - 2x^5 + x^4 - 2x^3 + 2x^2 + 1$

(4) $x^3 + y^3$

(5) $x^3 - y^3$

(6) $a^3 - 8$

(7) $x^3 + 27y^3$