関数 $f(x) = 2x + 1$ と $g(x) = x^2$ が与えられています。 (1) 合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めます。 (2) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、 $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ と $(f \circ f^{-1})(x) = x$ が成り立つことを確かめます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x + 1$ と $g(x) = x^2$ が与えられています。

(1) 合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めます。

(2) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、 $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ と $(f \circ f^{-1})(x) = x$ が成り立つことを確かめます。

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の計算

まず、$(g \circ f)(x)$ を計算します。これは $g(f(x))$ を意味するので、$g(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入します。

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$$

次に、$(f \circ g)(x)$ を計算します。これは $f(g(x))$ を意味するので、$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入します。

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$$

(2) 逆関数の計算と確認

$f(x) = 2x + 1$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。

$y = 2x + 1$ とおき、$x$ について解きます。

$2x = y - 1$ より、 $x = \frac{y - 1}{2}$

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}$ となります。

次に、$(f^{-1} \circ f)(x) = x$ を確認します。

$$(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = \frac{2x}{2} = x$$

最後に、$(f \circ f^{-1})(x) = x$ を確認します。

$$(f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x - 1}{2}\right) = 2\left(\frac{x - 1}{2}\right) + 1 = (x - 1) + 1 = x$$

3. 最終的な答え

(1)

$(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x + 1$

$(f \circ g)(x) = 2x^2 + 1$

(2)

$f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}$

$(f^{-1} \circ f)(x) = x$

$(f \circ f^{-1})(x) = x$