問題は2つあります。 (1) 実数 $a, b, c$ が $\frac{b+c+4}{a+2} = \frac{c+a+4}{b+2} = \frac{a+b+4}{c+2}$ を満たすとき、この式の値を求める。 (2) $a > 0, b > 0$ のとき、$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b})$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 実数 $a, b, c$ が $\frac{b+c+4}{a+2} = \frac{c+a+4}{b+2} = \frac{a+b+4}{c+2}$ を満たすとき、この式の値を求める。

(2) $a > 0, b > 0$ のとき、$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b})$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{b+c+4}{a+2} = \frac{c+a+4}{b+2} = \frac{a+b+4}{c+2} = k$ とおく。すると、

$b+c+4 = k(a+2)$

$c+a+4 = k(b+2)$

$a+b+4 = k(c+2)$

これらの式を全て足し合わせると、

$2(a+b+c) + 12 = k(a+b+c) + 6k$

$(2-k)(a+b+c) = 6k-12 = 6(k-2)$

もし $k \neq 2$ ならば、$a+b+c = \frac{6(k-2)}{2-k} = -6$

$b+c+4 = k(a+2)$ より $b+c = k(a+2)-4$

$a+b+c = a + k(a+2) - 4 = -6$

$a + ka + 2k - 4 = -6$

$a(1+k) = -2k - 2$

$a(1+k) = -2(k+1)$

$a = -2$

同様に $b = -2, c = -2$ となり、$a+b+c=-6$を満たす。

このとき、$k = \frac{-2-2+4}{-2+2} = \frac{0}{0}$ となり矛盾する。

したがって $k=2$ であり、

$b+c+4 = 2(a+2) = 2a+4$

$b+c = 2a$

同様に $c+a = 2b, a+b = 2c$

したがって、$a=b=c$ でなければならない。

$\frac{2a+4}{a+2} = \frac{2(a+2)}{a+2} = 2$

(2) $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) = 1 + \frac{4a}{b} + \frac{b}{a} + 4 = 5 + \frac{4a}{b} + \frac{b}{a}$

相加相乗平均の不等式より、$\frac{4a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{4a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\sqrt{4} = 4$

したがって $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) \geq 5+4 = 9$

等号成立は $\frac{4a}{b} = \frac{b}{a}$ のとき。すなわち $4a^2 = b^2$ であり、$b>0, a>0$ より $b=2a$

例えば $a=1, b=2$ のとき、$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) = (1+2)(1+\frac{4}{2}) = 3 \cdot 3 = 9$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 9