$y=x^2+(4-2k)x+2k^2-8k+4$ で表される二次関数のグラフを $C$ とする。 (1) $C$ が $y$ 軸の正の部分と交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。 (2) $C$ が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$y=x^2+(4-2k)x+2k^2-8k+4$ で表される二次関数のグラフを $C$ とする。

(1) $C$ が $y$ 軸の正の部分と交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。

(2) $C$ が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わるような $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $C$ が $y$ 軸の正の部分と交わる条件は、$x=0$ のとき $y>0$ であることである。

つまり、$2k^2-8k+4>0$ を満たす $k$ の範囲を求める。

$2k^2-8k+4>0$

$k^2-4k+2>0$

$k^2-4k+4-2>0$

$(k-2)^2>2$

$k-2 < -\sqrt{2}$ または $k-2 > \sqrt{2}$

$k < 2-\sqrt{2}$ または $k > 2+\sqrt{2}$

(2) $C$ が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる条件は、

(i) 判別式 $D>0$

(ii) 軸の位置 $>0$

(iii) $y$ 切片 $>0$

を満たすことである。

(i) 判別式 $D=(4-2k)^2-4(2k^2-8k+4)>0$

$16-16k+4k^2-8k^2+32k-16>0$

$-4k^2+16k>0$

$k^2-4k<0$

$k(k-4)<0$

$0<k<4$

(ii) 軸の位置は $x=-\frac{4-2k}{2}=k-2$ であるので、$k-2>0$ つまり $k>2$

(iii) $y$ 切片は $2k^2-8k+4$ であるので、$2k^2-8k+4>0$。

(1)より、$k < 2-\sqrt{2}$ または $k > 2+\sqrt{2}$

(i), (ii), (iii) を満たす $k$ の範囲は、

$0<k<4$, $k>2$, $k < 2-\sqrt{2}$ または $k > 2+\sqrt{2}$

であるから、$2+\sqrt{2}<k<4$

3. 最終的な答え

(1) $k < 2-\sqrt{2}$ または $k > 2+\sqrt{2}$

(2) $2+\sqrt{2}<k<4$