(1) 実数 $a, b, c$ が $\frac{b+c+4}{a+2} = \frac{c+a+4}{b+2} = \frac{a+b+4}{c+2}$ を満たすとき、この式の値を求める。 (2) $a > 0, b > 0$ のとき、 $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a})$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 実数 $a, b, c$ が $\frac{b+c+4}{a+2} = \frac{c+a+4}{b+2} = \frac{a+b+4}{c+2}$ を満たすとき、この式の値を求める。

(2) $a > 0, b > 0$ のとき、 $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a})$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{b+c+4}{a+2} = \frac{c+a+4}{b+2} = \frac{a+b+4}{c+2} = k$ とおく。

すると、以下の式が成り立つ。

$b+c+4 = k(a+2)$

$c+a+4 = k(b+2)$

$a+b+4 = k(c+2)$

これらの式を全て足し合わせると、

$2(a+b+c) + 12 = k(a+b+c+6)$

$2(a+b+c) + 12 = k(a+b+c) + 6k$

$(2-k)(a+b+c) = 6k - 12$

$(2-k)(a+b+c) = 6(k-2)$

もし $k \neq 2$ ならば、$a+b+c = \frac{6(k-2)}{2-k} = -6$ となる。

このとき、

$b+c+4 = k(a+2)$ より、$b+c = k(a+2) - 4$ であるから、

$a+b+c = a + k(a+2) - 4 = -6$

$a + ka + 2k - 4 = -6$

$(1+k)a = -2k - 2$

$(1+k)a = -2(k+1)$

もし $k \neq -1$ ならば、$a = -2$ となる。同様に $b = -2, c = -2$ となる。

$a+b+c = -6$ より、 $-2 + (-2) + (-2) = -6$ となり、矛盾はない。

このとき、$k = \frac{b+c+4}{a+2} = \frac{-2+(-2)+4}{-2+2}$ となり、これは定義されない。

したがって、$k=2$ である。

$a+b+c = -6$ の場合を除くため、$k = 2$ である。

$\frac{b+c+4}{a+2} = \frac{c+a+4}{b+2} = \frac{a+b+4}{c+2} = 2$

よって、式の値は2。

(2)

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a}) = ab + 4 + 1 + \frac{4}{ab} = ab + \frac{4}{ab} + 5$

相加相乗平均の関係より、$ab + \frac{4}{ab} \ge 2\sqrt{ab \cdot \frac{4}{ab}} = 2\sqrt{4} = 4$

等号成立は $ab = \frac{4}{ab}$ のとき、つまり $ab = 2$ のとき。

したがって、$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{4}{a}) \ge 4 + 5 = 9$

最小値は9。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 9