多項式 $x^3 - x^2 + ax + b$ を多項式 $P(x)$ で割ったときの余りが $5x + 10$ である。$P(x) = 0$ が $x = -1, 4$ を解として持つとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 - x^2 + ax + b$ を多項式 $P(x)$ で割ったときの余りが $5x + 10$ である。$P(x) = 0$ が $x = -1, 4$ を解として持つとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$P(x) = 0$ が $x = -1$ と $x = 4$ を解に持つので、$P(x)$ は $(x+1)(x-4)$ を因数に持つ。

したがって、$P(x) = (x+1)(x-4) = x^2 - 3x - 4$ と考えることができる。

$x^3 - x^2 + ax + b$ を $x^2 - 3x - 4$ で割ったときの余りが $5x+10$ であるので、ある多項式 $Q(x)$ を用いて、

$x^3 - x^2 + ax + b = (x^2 - 3x - 4)Q(x) + 5x + 10$

と表すことができる。

ここで、$Q(x)$ は $x$ の一次式であるから、$Q(x) = x + c$ と置くことができる。

したがって、

$x^3 - x^2 + ax + b = (x^2 - 3x - 4)(x + c) + 5x + 10$

$x^3 - x^2 + ax + b = x^3 + cx^2 - 3x^2 - 3cx - 4x - 4c + 5x + 10$

$x^3 - x^2 + ax + b = x^3 + (c-3)x^2 + (-3c+1)x + (-4c+10)$

両辺の係数を比較すると、

$c-3 = -1$

$-3c+1 = a$

$-4c+10 = b$

最初の式より、$c = 2$。

$a = -3(2) + 1 = -5$

$b = -4(2) + 10 = 2$

よって、$a = -5$、$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = 2$