整式$P(x)$を$x^2 - 2x + 1$で割った余りが$x - 2$であり、$2x^2 + 3x + 1$で割った余りが$2x + 3$であるとき、$P(x)$を$2x^2 - x - 1$で割った余りを求める。

## 問題12

1. 問題の内容

整式$P(x)$を$x^2 - 2x + 1$で割った余りが$x - 2$であり、$2x^2 + 3x + 1$で割った余りが$2x + 3$であるとき、$P(x)$を$2x^2 - x - 1$で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を式で表す。

$P(x)$を$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$で割った余りが$x-2$であるから、

$P(x) = (x-1)^2 Q_1(x) + x - 2$ (1)

$P(x)$を$2x^2 + 3x + 1 = (2x+1)(x+1)$で割った余りが$2x+3$であるから、

$P(x) = (2x+1)(x+1)Q_2(x) + 2x + 3$ (2)

求める余りは、$P(x)$を$2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1)$で割った余りである。

$P(x) = (2x+1)(x-1)Q_3(x) + ax + b$ (3)

となる。ここで、$ax+b$が求める余りである。

(1)に$x = 1$を代入すると、

$P(1) = (1-1)^2 Q_1(1) + 1 - 2 = -1$

(2)に$x = -\frac{1}{2}$を代入すると、

$P(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2})+1)(-\frac{1}{2}+1)Q_2(-\frac{1}{2}) + 2(-\frac{1}{2}) + 3 = -1+3 = 2$

(3)に$x=1$を代入すると、

$P(1) = (2(1)+1)(1-1)Q_3(1) + a(1) + b = a + b = -1$ (4)

(3)に$x=-\frac{1}{2}$を代入すると、

$P(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2})+1)(-\frac{1}{2}-1)Q_3(-\frac{1}{2}) + a(-\frac{1}{2}) + b = -\frac{1}{2}a + b = 2$ (5)

(4), (5)の連立方程式を解く。

$a + b = -1$

$-\frac{1}{2}a + b = 2$

(4) - (5)より、

$\frac{3}{2}a = -3$

$a = -2$

$b = -1 - a = -1 - (-2) = 1$

したがって、求める余りは$-2x + 1$である。

3. 最終的な答え

$-2x + 1$