与えられた式 (1) $\frac{1}{1 + \sqrt{6} + \sqrt{7}}$ の分母を有理化せよ。問題文の下にヒントとして $(1 + \sqrt{6} + \sqrt{7})(1 + \sqrt{6} - \sqrt{7}) = (1 + \sqrt{6})^2 - (\sqrt{7})^2$ を利用するように指示がある。

1. 問題の内容

与えられた式 (1) $\frac{1}{1 + \sqrt{6} + \sqrt{7}}$ の分母を有理化せよ。問題文の下にヒントとして $(1 + \sqrt{6} + \sqrt{7})(1 + \sqrt{6} - \sqrt{7}) = (1 + \sqrt{6})^2 - (\sqrt{7})^2$ を利用するように指示がある。

2. 解き方の手順

まず、ヒントに従って、分母と分子に $(1 + \sqrt{6} - \sqrt{7})$ を掛ける。

$\frac{1}{1 + \sqrt{6} + \sqrt{7}} = \frac{1 + \sqrt{6} - \sqrt{7}}{(1 + \sqrt{6} + \sqrt{7})(1 + \sqrt{6} - \sqrt{7})}$

分母を計算する。

$(1 + \sqrt{6} + \sqrt{7})(1 + \sqrt{6} - \sqrt{7}) = (1 + \sqrt{6})^2 - (\sqrt{7})^2 = (1 + 2\sqrt{6} + 6) - 7 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 - 7 = 2\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{1 + \sqrt{6} - \sqrt{7}}{(1 + \sqrt{6} + \sqrt{7})(1 + \sqrt{6} - \sqrt{7})} = \frac{1 + \sqrt{6} - \sqrt{7}}{2\sqrt{6}}$

さらに分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{6}$ を掛ける。

$\frac{(1 + \sqrt{6} - \sqrt{7})\sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6} + 6 - \sqrt{42}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6} + 6 - \sqrt{42}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{6 + \sqrt{6} - \sqrt{42}}{12}$