(5) $\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}$ と (7) $\frac{4\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$ をそれぞれ計算して簡単にしてください。

1. 問題の内容

(5) $\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}$ と (7) $\frac{4\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$ をそれぞれ計算して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

(5) 分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{7}+2$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2} = \frac{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{(\sqrt{7}+2)^2}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{7+4\sqrt{7}+4}{7-4} = \frac{11+4\sqrt{7}}{3}$

(7) 分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $3+\sqrt{5}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{4\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{2}(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{12\sqrt{2}+4\sqrt{10}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{12\sqrt{2}+4\sqrt{10}}{9-5} = \frac{12\sqrt{2}+4\sqrt{10}}{4} = 3\sqrt{2}+\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(5) $\frac{11+4\sqrt{7}}{3}$

(7) $3\sqrt{2}+\sqrt{10}$