問題7：2つの数 $\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{-3-\sqrt{3}i}{2}$ を解とする2次方程式を作成する。 問題8：和が2、積が3となる2つの数を求める。

1. 問題の内容

問題7：2つの数 $\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{-3-\sqrt{3}i}{2}$ を解とする2次方程式を作成する。

問題8：和が2、積が3となる2つの数を求める。

2. 解き方の手順

問題7：

2つの解を$\alpha$、$\beta$とする。2次方程式は$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$で表される。

まず、$\alpha + \beta$を計算する。

$\alpha + \beta = \frac{-3+\sqrt{3}i}{2} + \frac{-3-\sqrt{3}i}{2} = \frac{-3+\sqrt{3}i -3-\sqrt{3}i}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

次に、$\alpha\beta$を計算する。

$\alpha\beta = \frac{-3+\sqrt{3}i}{2} \cdot \frac{-3-\sqrt{3}i}{2} = \frac{(-3)^2 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{9 - (3i^2)}{4} = \frac{9 - (-3)}{4} = \frac{12}{4} = 3$

したがって、2次方程式は$x^2 - (-3)x + 3 = 0$、すなわち$x^2 + 3x + 3 = 0$となる。

問題8：

求める2つの数を$x$、$y$とする。

$x + y = 2$

$xy = 3$

$y = 2 - x$を$xy = 3$に代入する。

$x(2-x) = 3$

$2x - x^2 = 3$

$x^2 - 2x + 3 = 0$

この2次方程式を解く。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = 1 \pm \sqrt{2}i$

$x = 1 + \sqrt{2}i$のとき、$y = 2 - x = 2 - (1 + \sqrt{2}i) = 1 - \sqrt{2}i$

$x = 1 - \sqrt{2}i$のとき、$y = 2 - x = 2 - (1 - \sqrt{2}i) = 1 + \sqrt{2}i$

したがって、求める2つの数は$1 + \sqrt{2}i$、$1 - \sqrt{2}i$である。

3. 最終的な答え

問題7：$x^2 + 3x + 3 = 0$

問題8：$1 + \sqrt{2}i$、$1 - \sqrt{2}i$