画像に示された4つの数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像に示された4つの数学の問題を解きます。

2. 解き方の手順

問題10: 2次方程式 $x^2 + 6x + m = 0$ において、1つの解が他の解の2倍であるとき、定数 $m$ の値を求めます。

解き方:

2つの解を $\alpha$ と $2\alpha$ とおきます。

解と係数の関係より、

$\alpha + 2\alpha = -6$

$\alpha \cdot 2\alpha = m$

$3\alpha = -6$ より、 $\alpha = -2$

$m = 2\alpha^2 = 2(-2)^2 = 2(4) = 8$

問題11: $P(x) = x^3 + x^2 - 3x - 2$ を次の1次式で割った余りを求めます。

(1) $x-1$

(2) $2x+1$

解き方:

(1) 余りの定理より、$P(1)$ を計算します。

$P(1) = 1^3 + 1^2 - 3(1) - 2 = 1 + 1 - 3 - 2 = -3$

(2) 余りの定理より、$P(-\frac{1}{2})$ を計算します。

$P(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^3 + (-\frac{1}{2})^2 - 3(-\frac{1}{2}) - 2 = -\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{12}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{3}{8}$

問題12: 多項式 $P(x) = 2x^3 + 5ax^2 + ax + 1$ を $x+1$ で割った余りが $-5$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

解き方:

余りの定理より、$P(-1) = -5$ が成り立ちます。

$P(-1) = 2(-1)^3 + 5a(-1)^2 + a(-1) + 1 = -2 + 5a - a + 1 = 4a - 1$

$4a - 1 = -5$ より、 $4a = -4$, $a = -1$

問題13: 次の方程式を解きます。

(1) $(x-1)(x^2+3x+2)=0$

(2) $x^3 - 8 = 0$

解き方:

(1) $(x-1)(x^2+3x+2) = (x-1)(x+1)(x+2) = 0$

したがって、$x = 1, -1, -2$

(2) $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

$x-2 = 0$ より、 $x = 2$

$x^2 + 2x + 4 = 0$ について、解の公式より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

したがって、$x = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

問題10: $m = 8$

問題11: (1) $-3$ (2) $-\frac{3}{8}$

問題12: $a = -1$

問題13: (1) $x = 1, -1, -2$ (2) $x = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$