2つの二次関数 $y = -x^2 - 2x - 3$ (1) と $y = -x^2 - 4x + 2$ (2) が与えられています。 (1) 関数(1)のグラフを書いたときの軸と頂点を求めます。 (2) 関数(2)のグラフをx軸について対称移動したグラフの方程式を求めます。 (3) 関数(1)のグラフは、関数(2)のグラフをどのように移動したものか説明します。

1. 問題の内容

2つの二次関数 $y = -x^2 - 2x - 3$ (1) と $y = -x^2 - 4x + 2$ (2) が与えられています。

(1) 関数(1)のグラフを書いたときの軸と頂点を求めます。

(2) 関数(2)のグラフをx軸について対称移動したグラフの方程式を求めます。

(3) 関数(1)のグラフは、関数(2)のグラフをどのように移動したものか説明します。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = -x^2 - 2x - 3$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + 2x) - 3$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) - 3$

$y = -((x + 1)^2 - 1) - 3$

$y = -(x + 1)^2 + 1 - 3$

$y = -(x + 1)^2 - 2$

頂点は $(-1, -2)$ で、軸は $x = -1$ です。

(2)

関数 $y = -x^2 - 4x + 2$ をx軸について対称移動するには、$y$ を $-y$ で置き換えます。

$-y = -x^2 - 4x + 2$

$y = x^2 + 4x - 2$

(3)

関数(1) $y = -x^2 - 2x - 3$ と 関数(2) $y = -x^2 - 4x + 2$ について考えます。

関数(1)を平方完成すると $y = -(x + 1)^2 - 2$ であり、頂点は $(-1, -2)$ です。

関数(2)を平方完成すると $y = -(x + 2)^2 + 6$ であり、頂点は $(-2, 6)$ です。

(2)のグラフをx軸方向に $p$、y軸方向に $q$ だけ平行移動すると(1)のグラフになると仮定します。

すると、(2)の頂点 $(-2, 6)$ をx軸方向に $p$、y軸方向に $q$ だけ平行移動したものが(1)の頂点 $(-1, -2)$ になるはずです。

$-2 + p = -1$

$p = 1$

$6 + q = -2$

$q = -8$

関数(2) $y = -x^2 - 4x + 2$ のグラフをx軸方向に1、y軸方向に-8だけ平行移動すると関数(1)のグラフ $y = -x^2 - 2x - 3$ になります。

3. 最終的な答え

(1)

軸: $x = -1$

頂点: $(-1, -2)$

(2)

$y = x^2 + 4x - 2$

(3)

x軸方向に1、y軸方向に-8だけ平行移動