問題36と37が与えられています。 問題36：$x = \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x+y, xy$ (2) $x^2+y^2$ 問題37：$x = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$, $y = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x+y, xy$ (2) $x^2+y^2$ (3) $x^2y+xy^2$

1. 問題の内容

問題36と37が与えられています。

問題36：$x = \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$, $y = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x+y, xy$

(2) $x^2+y^2$

問題37：$x = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$, $y = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x+y, xy$

(2) $x^2+y^2$

(3) $x^2y+xy^2$

2. 解き方の手順

問題36：

(1) $x+y$と$xy$を計算します。

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

$x+y = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

$xy = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $x^2+y^2$ を計算します。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{7})^2 - 2\cdot\frac{1}{2} = 7-1 = 6$

問題37：

(1) $x+y$と$xy$を計算します。

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$

$y = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

$x+y = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}$

$xy = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = 2-1 = 1$

(2) $x^2+y^2$ を計算します。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{2})^2 - 2(1) = 8 - 2 = 6$

(3) $x^2y+xy^2$を計算します。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y) = (1)(2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

問題36：

(1) $x+y = \sqrt{7}, xy = \frac{1}{2}$

(2) $x^2+y^2 = 6$

問題37：

(1) $x+y = 2\sqrt{2}, xy = 1$

(2) $x^2+y^2 = 6$

(3) $x^2y+xy^2 = 2\sqrt{2}$