$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$a+2b+b^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$a+2b+b^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化する。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の近似値を考える。$1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2$ より $1 < \sqrt{3} < 2$ である。

より精密には、$1.7^2 = 2.89 < 3 < 2.9929=1.73^2$ なので、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$と考えることができる。

したがって、$2+1.7 < 2+\sqrt{3} < 2+1.8$ であり、$3.7 < 2+\sqrt{3} < 3.8$ である。

よって、$2+\sqrt{3}$ の整数部分は $a=3$, 小数部分は $b=2+\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} - 1$ となる。

次に、$a+2b+b^2$ の値を求める。

$a+2b+b^2 = 3 + 2(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} - 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) = 3 + 2\sqrt{3} - 2 + 4 - 2\sqrt{3} = 5$

3. 最終的な答え

5