与えられた3つの分数式を既約分数式に直します。 (1) $\frac{(3xy^2)^3}{(3x^2yz^3)^2}$ (2) $\frac{x^2-2x-3}{x^3-x^2-6x}$ (3) $\frac{(a+b)^2-c^2}{a^2-(b+c)^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの分数式を既約分数式に直します。

(1) $\frac{(3xy^2)^3}{(3x^2yz^3)^2}$

(2) $\frac{x^2-2x-3}{x^3-x^2-6x}$

(3) $\frac{(a+b)^2-c^2}{a^2-(b+c)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{(3xy^2)^3}{(3x^2yz^3)^2}$ の場合：

まず、分子と分母をそれぞれ展開します。

分子: $(3xy^2)^3 = 3^3 x^3 (y^2)^3 = 27x^3y^6$

分母: $(3x^2yz^3)^2 = 3^2 (x^2)^2 y^2 (z^3)^2 = 9x^4y^2z^6$

よって、

$\frac{(3xy^2)^3}{(3x^2yz^3)^2} = \frac{27x^3y^6}{9x^4y^2z^6} = \frac{3y^4}{xz^6}$

(2) $\frac{x^2-2x-3}{x^3-x^2-6x}$ の場合：

分子と分母をそれぞれ因数分解します。

分子: $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$

分母: $x^3-x^2-6x = x(x^2-x-6) = x(x-3)(x+2)$

よって、

$\frac{x^2-2x-3}{x^3-x^2-6x} = \frac{(x-3)(x+1)}{x(x-3)(x+2)} = \frac{x+1}{x(x+2)}$

(3) $\frac{(a+b)^2-c^2}{a^2-(b+c)^2}$ の場合：

分子と分母をそれぞれ因数分解します。

分子: $(a+b)^2 - c^2 = (a+b+c)(a+b-c)$

分母: $a^2 - (b+c)^2 = (a+(b+c))(a-(b+c)) = (a+b+c)(a-b-c)$

よって、

$\frac{(a+b)^2-c^2}{a^2-(b+c)^2} = \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b+c)(a-b-c)} = \frac{a+b-c}{a-b-c}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3y^4}{xz^6}$

(2) $\frac{x+1}{x(x+2)}$

(3) $\frac{a+b-c}{a-b-c}$