与えられた複素数の式を計算する問題です。具体的には、足し算、引き算、掛け算、割り算、平方根などを含む複素数の計算を行います。

はい、承知いたしました。それでは、画像にある次の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式を計算する問題です。具体的には、足し算、引き算、掛け算、割り算、平方根などを含む複素数の計算を行います。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $(-1 + 2i) + (3 - 4i)$

実部と虚部をそれぞれ足し合わせます。

$(-1 + 3) + (2 - 4)i = 2 - 2i$

(2) $(6 + 4i) - (3 + 2i)$

実部と虚部をそれぞれ引き算します。

$(6 - 3) + (4 - 2)i = 3 + 2i$

(3) $(1 - 2i)(5 + 2i)$

分配法則を用いて展開します。

$1 \cdot 5 + 1 \cdot 2i - 2i \cdot 5 - 2i \cdot 2i = 5 + 2i - 10i - 4i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$5 - 8i - 4(-1) = 5 - 8i + 4 = 9 - 8i$

(4) $\frac{2 - i}{2 + i}$

分母の共役複素数を分子と分母に掛けます。分母の共役複素数は $2 - i$ です。

$\frac{(2 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{4 - 2i - 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 - 4i - 1}{4 - (-1)} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(5) $(\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2})^2$

二乗を展開します。

$(\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2})^2 = \frac{(-1 + \sqrt{3}i)(-1 + \sqrt{3}i)}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}i - \sqrt{3}i + 3i^2}{4} = \frac{1 - 2\sqrt{3}i - 3}{4} = \frac{-2 - 2\sqrt{3}i}{4} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(6) $i + i^2 + i^3 + i^4$

$i$ の累乗を計算します。

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = i^2 \cdot i = -i$

$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1$

したがって、

$i + (-1) + (-i) + 1 = i - 1 - i + 1 = 0$

(7) $\sqrt{-2} \sqrt{-6}$

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$ と $\sqrt{-6} = \sqrt{6}i$ と表せるので、

$\sqrt{-2} \sqrt{-6} = \sqrt{2}i \cdot \sqrt{6}i = \sqrt{12}i^2 = \sqrt{4 \cdot 3}(-1) = 2\sqrt{3}(-1) = -2\sqrt{3}$

(8) $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{-5}}$

$\sqrt{-5} = \sqrt{5}i$ と表せるので、

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{-5}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{\sqrt{5}i} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}i} = \frac{3}{i}$

分母の有理化のために、分子と分母に $-i$ を掛けます。

$\frac{3}{i} = \frac{3(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i}{-i^2} = \frac{-3i}{-(-1)} = -3i$

(9) $(1 + \sqrt{-2})(3 - \sqrt{-8})$

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$ と $\sqrt{-8} = \sqrt{8}i = 2\sqrt{2}i$ と表せるので、

$(1 + \sqrt{2}i)(3 - 2\sqrt{2}i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2\sqrt{2}i) + \sqrt{2}i \cdot 3 + \sqrt{2}i \cdot (-2\sqrt{2}i) = 3 - 2\sqrt{2}i + 3\sqrt{2}i - 4i^2 = 3 + \sqrt{2}i - 4(-1) = 3 + \sqrt{2}i + 4 = 7 + \sqrt{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $2 - 2i$

(2) $3 + 2i$

(3) $9 - 8i$

(4) $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(5) $-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(6) $0$

(7) $-2\sqrt{3}$

(8) $-3i$

(9) $7 + \sqrt{2}i$