$\omega$ を $x^3 = 1$ の虚数解の1つとするとき、$\omega^{20} + \omega^{10} - \omega^{30}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\omega$ を $x^3 = 1$ の虚数解の1つとするとき、$\omega^{20} + \omega^{10} - \omega^{30}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\omega$ は $x^3 = 1$ の解であるから、$\omega^3 = 1$ が成り立つ。これを利用して、$\omega^{20}$、$\omega^{10}$、$\omega^{30}$ の次数を下げていく。

まず、$\omega^{20}$ について、20 を 3 で割ると、20 = 3 * 6 + 2 なので、

$\omega^{20} = \omega^{3*6 + 2} = (\omega^3)^6 * \omega^2 = 1^6 * \omega^2 = \omega^2$

次に、$\omega^{10}$ について、10 を 3 で割ると、10 = 3 * 3 + 1 なので、

$\omega^{10} = \omega^{3*3 + 1} = (\omega^3)^3 * \omega^1 = 1^3 * \omega = \omega$

最後に、$\omega^{30}$ について、30 を 3 で割ると、30 = 3 * 10 なので、

$\omega^{30} = (\omega^3)^{10} = 1^{10} = 1$

よって、$\omega^{20} + \omega^{10} - \omega^{30} = \omega^2 + \omega - 1$

$\omega$ は $x^3 = 1$ の虚数解なので、$x^3 - 1 = 0$ を満たす。

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$ であり、$\omega$ は虚数解なので、$\omega \ne 1$ 。

したがって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

よって、$\omega^2 + \omega = -1$

$\omega^{20} + \omega^{10} - \omega^{30} = \omega^2 + \omega - 1 = -1 - 1 = -2$

3. 最終的な答え

-2