与えられた2つの数列の和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^{k-1}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (-3)^k$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^{k-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (-3)^k$

2. 解き方の手順

(1) これは等比数列の和です。初項 $a = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3$、公比 $r = 2$、項数 $n$ の等比数列の和の公式を使います。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

です。

これに $a=3$、$r=2$ を代入すると、

$S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{3(2^n - 1)}{1} = 3(2^n - 1)$

(2) これは等比数列の和です。初項 $a = (-3)^1 = -3$、公比 $r = -3$、項数 $n$ の等比数列の和の公式を使います。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

です。

これに $a=-3$、$r=-3$ を代入すると、

$S_n = \frac{-3((-3)^n - 1)}{-3 - 1} = \frac{-3((-3)^n - 1)}{-4} = \frac{3}{4}((-3)^n - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^{k-1} = 3(2^n - 1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (-3)^k = \frac{3}{4}((-3)^n - 1)$