$a, b$ は有理数とする。$a + b\sqrt{2} = 0$ のとき、$a = b = 0$ である。この性質を用いて、$(1 + \sqrt{2})x + (-2 + 3\sqrt{2})y = 10$ を満たす有理数 $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ は有理数とする。$a + b\sqrt{2} = 0$ のとき、$a = b = 0$ である。この性質を用いて、$(1 + \sqrt{2})x + (-2 + 3\sqrt{2})y = 10$ を満たす有理数 $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形して、有理数の部分と無理数の部分を分ける。

$$(1 + \sqrt{2})x + (-2 + 3\sqrt{2})y = 10$$

$$x + x\sqrt{2} - 2y + 3y\sqrt{2} = 10$$

$$(x - 2y) + (x + 3y)\sqrt{2} = 10$$

$$(x - 2y) + (x + 3y)\sqrt{2} = 10 + 0\sqrt{2}$$

$x, y$ は有理数であるから、$x - 2y$ と $x + 3y$ も有理数である。

したがって、与えられた性質より、

$$x - 2y = 10$$

$$x + 3y = 0$$

この連立方程式を解く。

$x = -3y$ を $x - 2y = 10$ に代入すると、

$$-3y - 2y = 10$$

$$-5y = 10$$

$$y = -2$$

$x = -3y = -3(-2) = 6$

したがって、$x = 6$, $y = -2$。

3. 最終的な答え

$x = 6, y = -2$