(1) $a$を$n$回掛けたものを$a$の$n$乗という。空欄を埋め、指数法則を記述する。 (2) $a > 0$とする、$n$乗すると$a$になる数を$a$の何というか。

はい、承知いたしました。以下に問題の回答を示します。

**問題３**

1. 問題の内容

(1) $a$を$n$回掛けたものを$a$の$n$乗という。空欄を埋め、指数法則を記述する。

(2) $a > 0$とする、$n$乗すると$a$になる数を$a$の何というか。

2. 解き方の手順

(1) $a$を$n$回掛けたものを$a$の$n$乗といい、$a^n$と書く。$a^1, a^2, \dots, a^n$をまとめて$a$の冪乗という。

指数法則は、$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$、$(a^m)^n = a^{mn}$が成り立つ。

(2) $n$乗すると$a$になる数は$a$の$n$乗根という。

3. 最終的な答え

(1) $a^n$, 冪乗, $a^{m+n}$, $a^{mn}$

(2) $n$乗根

**問題４**

1. 問題の内容

指数が有理数の場合にも指数法則が成り立つように、正の数$a$の冪乗を拡張したい。空欄を埋め、なぜそのように定めるべきなのかを説明する。

2. 解き方の手順

(1) $a^0 = 1$と定義する。これは、$a^x \cdot a^0 = a^{x+0} = a^x$となるようにするためである。

(2) $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$と定義する。これは、$a^x \cdot a^{-x} = a^{x+(-x)} = a^0 = 1$となるようにするためである。

(3) $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$と定義する。これは、$(a^{\frac{1}{n}})^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a^1 = a$となるようにするためである。

3. 最終的な答え

(1) $1$

(2) $\frac{1}{a^x}$

(3) $\sqrt[n]{a^m}$

**問題５**

1. 問題の内容

定義される冪乗$a^x$について、以下の指数法則を埋めよ。また、$f(x) = a^x$のグラフが、$a$の値によって増加関数になるか減少関数になるか答えよ。

2. 解き方の手順

(1) 指数法則は、$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$、$(a^x)^y = a^{xy}$、$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$、$(ab)^x = a^x b^x$、$(\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x}$。

(2) $a>1$のとき、$f(x) = a^x$は狭義単調増加関数である。$0<a<1$のとき、$f(x) = a^x$は狭義単調減少関数である。

3. 最終的な答え

(1) $a^{x+y}$, $a^{xy}$, $a^{x-y}$, $a^x b^x$, $\frac{a^x}{b^x}$

(2) 増加、減少

**問題６**

1. 問題の内容

$2\sqrt{2}$, $0.5$, $\sqrt[5]{32}$をそれぞれ$2$の形に直し、大小を比較せよ。

2. 解き方の手順

$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = 2^{1.5}$

$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\sqrt[5]{32} = (2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^1$

指数を比較すると、$1.5 > 1 > -1$なので、$2\sqrt{2} > \sqrt[5]{32} > 0.5$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} > \sqrt[5]{32} > 0.5$

**問題７**

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{3})^x \geq \frac{1}{27}$の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$(\frac{1}{3})^x \geq \frac{1}{27}$

$(\frac{1}{3})^x \geq (\frac{1}{3})^3$

底$\frac{1}{3}$は$0 < \frac{1}{3} < 1$なので、指数関数の単調減少性から、

$x \leq 3$

3. 最終的な答え

$x \leq 3$

**問題８**

1. 問題の内容

次の式を$a^p b^q$の形に表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{(ab)^3 \times (ab^3)^2}{a^4 b^5} = \frac{a^3 b^3 \times a^2 b^6}{a^4 b^5} = \frac{a^5 b^9}{a^4 b^5} = a^{5-4} b^{9-5} = a^1 b^4 = ab^4$

(2) $\frac{\sqrt{a^5 b} \times \sqrt[3]{a^2 b^3}}{ab} = \frac{a^{\frac{5}{2}} b^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{3}{3}}}{ab} = \frac{a^{\frac{5}{2}+\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}+1}}{ab} = \frac{a^{\frac{15+4}{6}} b^{\frac{3}{2}}}{ab} = \frac{a^{\frac{19}{6}} b^{\frac{3}{2}}}{ab} = a^{\frac{19}{6}-1} b^{\frac{3}{2}-1} = a^{\frac{13}{6}} b^{\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $ab^4$

(2) $a^{\frac{13}{6}} b^{\frac{1}{2}}$