二重根号 $\sqrt{8-\sqrt{48}}$ を外す問題です。

1. 問題の内容

二重根号 $\sqrt{8-\sqrt{48}}$ を外す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{48}$を簡単にします。

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

よって、$\sqrt{8-\sqrt{48}} = \sqrt{8-4\sqrt{3}}$ となります。

次に、二重根号を外す公式

$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}}$

を利用することを考えます。

ただし、今回の場合は$\sqrt{8-4\sqrt{3}}$の形なので、$4\sqrt{3}= \sqrt{16\times3} = \sqrt{48}$ より、$a=8$, $b=48$ となります。

このとき、$a^2-b=8^2-48 = 64-48 = 16$ なので、$\sqrt{a^2-b} = \sqrt{16}=4$ となります。

従って、公式に代入すると、

$\sqrt{8-4\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{8 + 4}{2}} - \sqrt{\frac{8 - 4}{2}} = \sqrt{\frac{12}{2}} - \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

となります。

別の解き方としては、

$\sqrt{8-4\sqrt{3}} = \sqrt{8-2\sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{6}-\sqrt{2}|$

ここで$\sqrt{6} > \sqrt{2}$なので、$\sqrt{8-4\sqrt{3}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{6}-\sqrt{2}$