関数 $f(x) = -x^2 -ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) について、最大値が 5 となるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 -ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) について、最大値が 5 となるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 + ax) + 2a^2$

$f(x) = -(x + \frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + 2a^2$

$f(x) = -(x + \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} + 2a^2$

$f(x) = -(x + \frac{a}{2})^2 + \frac{9a^2}{4}$

軸は $x = -\frac{a}{2}$ です。定義域は $0 \le x \le 1$ です。

最大値が5となるケースを場合分けして考えます。

(i) $-\frac{a}{2} \le 0$ のとき、すなわち $a \ge 0$ のとき

このとき、軸は定義域の左側にあります。したがって、$x = 0$ で最大値をとります。

$f(0) = -0^2 - a(0) + 2a^2 = 2a^2 = 5$

$a^2 = \frac{5}{2}$

$a = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

$a = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

$a \ge 0$ より、$a = \frac{\sqrt{10}}{2}$

(ii) $0 < -\frac{a}{2} < 1$ のとき、すなわち $-2 < a < 0$ のとき

このとき、軸は定義域の中にあります。したがって、$x = -\frac{a}{2}$ で最大値をとります。

$f(-\frac{a}{2}) = \frac{9a^2}{4} = 5$

$9a^2 = 20$

$a^2 = \frac{20}{9}$

$a = \pm \sqrt{\frac{20}{9}}$

$a = \pm \frac{2\sqrt{5}}{3}$

$-2 < a < 0$ より、$a = -\frac{2\sqrt{5}}{3}$

(iii) $-\frac{a}{2} \ge 1$ のとき、すなわち $a \le -2$ のとき

このとき、軸は定義域の右側にあります。したがって、$x = 1$ で最大値をとります。

$f(1) = -1^2 - a(1) + 2a^2 = 2a^2 - a - 1 = 5$

$2a^2 - a - 6 = 0$

$(2a + 3)(a - 2) = 0$

$a = -\frac{3}{2}, 2$

$a \le -2$ より、解なし。

したがって、$a = \frac{\sqrt{10}}{2}, -\frac{2\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{\sqrt{10}}{2}, -\frac{2\sqrt{5}}{3}$