与えられた6つの二次方程式を解く問題です。 (1) $x^2 + 3x + 1 = 0$ (2) $x^2 + 10x + 25 = 0$ (3) $2x^2 + x + 3 = 0$ (4) $3x^2 - 2x + 5 = 0$ (5) $x^2 + \sqrt{5}x + 2 = 0$ (6) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた6つの二次方程式を解く問題です。

(1) $x^2 + 3x + 1 = 0$

(2) $x^2 + 10x + 25 = 0$

(3) $2x^2 + x + 3 = 0$

(4) $3x^2 - 2x + 5 = 0$

(5) $x^2 + \sqrt{5}x + 2 = 0$

(6) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて求めます。

また、$b^2 - 4ac \geq 0$ のとき実数解を持ち、$b^2 - 4ac < 0$ のとき虚数解を持ちます。

(1) $x^2 + 3x + 1 = 0$

$a = 1, b = 3, c = 1$ より、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(2) $x^2 + 10x + 25 = 0$

これは $(x + 5)^2 = 0$ と因数分解できるので、$x = -5$

(3) $2x^2 + x + 3 = 0$

$a = 2, b = 1, c = 3$ より、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 24}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-23}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{23}}{4}$

(4) $3x^2 - 2x + 5 = 0$

$a = 3, b = -2, c = 5$ より、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(5)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 60}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{-56}}{6} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{14}}{6} = \frac{1 \pm i\sqrt{14}}{3}$

(5) $x^2 + \sqrt{5}x + 2 = 0$

$a = 1, b = \sqrt{5}, c = 2$ より、

$x = \frac{-\sqrt{5} \pm \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-\sqrt{5} \pm \sqrt{5 - 8}}{2} = \frac{-\sqrt{5} \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-\sqrt{5} \pm i\sqrt{3}}{2}$

(6) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$

$a = 1, b = -2\sqrt{3}, c = -1$ より、

$x = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2\sqrt{3} \pm 4}{2} = \sqrt{3} \pm 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(2) $x = -5$

(3) $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{23}}{4}$

(4) $x = \frac{1 \pm i\sqrt{14}}{3}$

(5) $x = \frac{-\sqrt{5} \pm i\sqrt{3}}{2}$

(6) $x = \sqrt{3} \pm 2$