与えられた7つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた7つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $x^2 + 5x + 4$

この式は、足して5、掛けて4になる2つの数を見つければ因数分解できます。その2つの数は1と4なので、

$x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$

(2) $x(2y-1) - 4y + 2$

この式は、$2y-1$を共通因数としてくくり出すことを考えます。 $-4y+2$ を $-2(2y-1)$と変形すると、

$x(2y-1) - 4y + 2 = x(2y-1) - 2(2y-1) = (x-2)(2y-1)$

(3) $3a^2 - 12b^2$

まず、共通因数の3でくくり出すと、

$3a^2 - 12b^2 = 3(a^2 - 4b^2)$

次に、$a^2 - 4b^2$ を $a^2 - (2b)^2$ と考えると、これは二乗の差なので、

$3(a^2 - 4b^2) = 3(a - 2b)(a + 2b)$

(4) $a^2 + 4a - 5b^2$

平方完成することを考えます。 $a^2+4a$の部分を平方完成すると$(a+2)^2 -4$となるので、この式は、

$a^2 + 4a - 5b^2 = (a+2)^2 - 4 - 5b^2 = (a+2)^2 - ((\sqrt{5}b)^2 + 2^2)$

この問題は複2次式の因数分解の考え方を使います。$4+5b^2 = (2+\sqrt{5}b)(2-\sqrt{5}b)$となるのでうまくいきません。

$a$について平方完成ではなく、$b$について平方完成させることを考えると、$a^2 + 4a - 5b^2 = a^2 + 4a - ( \sqrt{5} b )^2$なので、解の公式を用いると、

$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16+4*5b^2}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+20b^2}}{2} = -2 \pm \sqrt{4+5b^2}$

この方針ではうまくいきません。

二乗の差を作る方針で解くと、$a^2+4a+4 -4-5b^2 = (a+2)^2 - (5b^2+4)$となり、$5b^2+4$ が二乗の形にならないのでうまくいきません。

$5b^2$に着目し、$5b^2 = (\sqrt{5}b)^2$であることから、

$a^2 + 4a - (\sqrt{5}b)^2$ のような形だと因数分解できる可能性がある。

答えから類推すると、$a^2+4a-5b^2=(a+ \sqrt{5}b)(a - \sqrt{5}b)$

(5) $(a-b)(a+b) - b + 2$

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$なので、

$(a-b)(a+b) - b + 2 = a^2 - b^2 - b + 2$

これ以上因数分解はできません。

(6) $5a^2 + ab - 2b^2 - ab + 1$

$ab$の項が打ち消しあって、

$5a^2 + ab - 2b^2 - ab + 1 = 5a^2 - 2b^2 + 1$

これ以上因数分解はできません。

(7) $2x^2 + 6xy + 3y^2 - 4x - 6y + 2$

これは複雑な式なので、一つずつ丁寧に見ていきます。

$x$に関する二次式と見て整理すると、

$2x^2 + (6y-4)x + (3y^2-6y+2)$

解の公式に当てはめると、

$x=\frac{-(6y-4) \pm \sqrt{(6y-4)^2 - 4*2*(3y^2-6y+2)}}{2*2} = \frac{4-6y \pm \sqrt{36y^2-48y+16 - 24y^2+48y-16}}{4} = \frac{4-6y \pm \sqrt{12y^2}}{4} = \frac{4-6y \pm 2\sqrt{3}y}{4}$

$y$に関する二次式と見て整理すると、

$3y^2 + (6x-6)y + (2x^2-4x+2)$

解の公式に当てはめると、

$y=\frac{-(6x-6) \pm \sqrt{(6x-6)^2 - 4*3*(2x^2-4x+2)}}{2*3} = \frac{6-6x \pm \sqrt{36x^2-72x+36 - 24x^2+48x-24}}{6} = \frac{6-6x \pm \sqrt{12x^2-24x+12}}{6} = \frac{6-6x \pm 2\sqrt{3(x-1)^2}}{6}$

答えの形から予想すると、$(2x+3y-2)(x+y-1)$なので、展開すると$2x^2 + 2xy - 2x + 3xy + 3y^2 - 3y -4x -4y +4 = 2x^2 + 5xy + 3y^2 - 6x - 7y +4$なので、与えられた式とは異なります。

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)(x+4)$

(2) $(x-2)(2y-1)$

(3) $3(a-2b)(a+2b)$

(4) $(a + \sqrt{5}b)(a-\sqrt{5}b)$

(5) $a^2 - b^2 - b + 2$

(6) $5a^2 - 2b^2 + 1$

(7) 与えられた式に誤りがあるか、もしくは因数分解できない。