$|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$ のとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$ のとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ を計算し、最小値を求める。

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = (\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} + t\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t^2|\vec{b}|^2$

与えられた値を代入すると、

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = 5^2 + 2t(12) + t^2(4^2) = 25 + 24t + 16t^2 = 16t^2 + 24t + 25$

この式は $t$ の二次関数である。

$f(t) = 16t^2 + 24t + 25$ とおくと、$f(t)$ を平方完成する。

$f(t) = 16(t^2 + \frac{3}{2}t) + 25 = 16(t + \frac{3}{4})^2 - 16(\frac{9}{16}) + 25 = 16(t + \frac{3}{4})^2 - 9 + 25 = 16(t + \frac{3}{4})^2 + 16$

$f(t)$ は $t = -\frac{3}{4}$ のとき、最小値 16 をとる。

したがって、$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ の最小値は 16 である。

よって、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{16} = 4$ である。

3. 最終的な答え

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