$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $\frac{1}{x}$ (2) $x + \frac{1}{x}$ (3) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (4) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $\frac{1}{x}$

(2) $x + \frac{1}{x}$

(3) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(4) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x}$ を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{3 - \sqrt{5}}$

分母の有理化を行う。

$\frac{2}{3 - \sqrt{5}} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

(2) $x + \frac{1}{x}$ を求める。

$x + \frac{1}{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

(3) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

(4) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2\frac{1}{x} + 3x\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

(2) 3

(3) 7

(4) 18