問題は二つあります。一つ目はReport 14で、与えられた行列やベクトルの計算を行う問題です。二つ目はReport 15で、行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、指定された行列の演算（転置、積、和など）を行う問題です。

1. 問題の内容

問題は二つあります。一つ目はReport 14で、与えられた行列やベクトルの計算を行う問題です。二つ目はReport 15で、行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、指定された行列の演算（転置、積、和など）を行う問題です。

2. 解き方の手順

Report 15の解き方を示します。

1. $^tA$ (Aの転置)

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ より、

$^tA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

2. $^tB$ (Bの転置)

$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ より、

$^tB = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

3. $^tB \, ^tA$

^tB \, ^tA = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + (-2)\cdot(-1) + 3\cdot3 & 1\cdot1 + (-2)\cdot0 + 3\cdot(-2) \\ 3\cdot2 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot3 & 3\cdot1 + 1\cdot0 + (-1)\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2+9 & 1+0-6 \\ 6-1-3 & 3+0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -5 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}

4. $AB$

$AB = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + (-1)\cdot(-2) + 3\cdot3 & 2\cdot3 + (-1)\cdot1 + 3\cdot(-1) \\ 1\cdot1 + 0\cdot(-2) + (-2)\cdot3 & 1\cdot3 + 0\cdot1 + (-2)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2+9 & 6-1-3 \\ 1+0-6 & 3+0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 2 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$

5. $^t(AB)$

$AB = \begin{pmatrix} 13 & 2 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$ より、

$^t(AB) = \begin{pmatrix} 13 & -5 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

6. $^tBB$

$^tBB = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + (-2)\cdot(-2) + 3\cdot3 & 1\cdot3 + (-2)\cdot1 + 3\cdot(-1) \\ 3\cdot1 + 1\cdot(-2) + (-1)\cdot3 & 3\cdot3 + 1\cdot1 + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4+9 & 3-2-3 \\ 3-2-3 & 9+1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & -2 \\ -2 & 11 \end{pmatrix}$

7. $B^tB$

$B^tB = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot3 & 1\cdot(-2)+3\cdot1 & 1\cdot3+3\cdot(-1) \\ -2\cdot1+1\cdot3 & -2\cdot(-2)+1\cdot1 & -2\cdot3+1\cdot(-1) \\ 3\cdot1+(-1)\cdot3 & 3\cdot(-2)+(-1)\cdot1 & 3\cdot3+(-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & -7 \\ 0 & -7 & 10 \end{pmatrix}$

8. $^tA + 3B$

$^tA + 3B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -6 & 3 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -7 & 3 \\ 12 & -5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

Report 15の答え:

1. $^tA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

2. $^tB = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

3. $^tB \, ^tA = \begin{pmatrix} 13 & -5 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

4. $AB = \begin{pmatrix} 13 & 2 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$

5. $^t(AB) = \begin{pmatrix} 13 & -5 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

6. $^tBB = \begin{pmatrix} 14 & -2 \\ -2 & 11 \end{pmatrix}$

7. $B^tB = \begin{pmatrix} 10 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & -7 \\ 0 & -7 & 10 \end{pmatrix}$

8. $^tA + 3B = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -7 & 3 \\ 12 & -5 \end{pmatrix}$