与えられた方程式 $2m^2 - n^2 - mn - m + n = 18$ を満たす自然数 $m, n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $2m^2 - n^2 - mn - m + n = 18$ を満たす自然数 $m, n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$2m^2 - n^2 - mn - m + n = 18$

$2m^2 - m(n+1) - n^2 + n - 18 = 0$

$m$ についての二次方程式と見て、解の公式を使うことを考えます。

$am^2+bm+c=0$ の解は $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられます。

この問題では、$a=2$, $b=-(n+1)$, $c=-(n^2-n+18)$ なので、

$m = \frac{(n+1) \pm \sqrt{(n+1)^2 - 4(2)(-(n^2-n+18))}}{2(2)}$

$m = \frac{(n+1) \pm \sqrt{n^2 + 2n + 1 + 8n^2 - 8n + 144}}{4}$

$m = \frac{(n+1) \pm \sqrt{9n^2 - 6n + 145}}{4}$

$m$ が整数であるためには、根号の中身が平方数でなければなりません。

$9n^2 - 6n + 145 = k^2$ となる整数 $k$ が存在する必要があります。

ここで、平方完成を行います。

$9n^2 - 6n + 145 = (3n-1)^2 - 1 + 145 = (3n-1)^2 + 144 = k^2$

$k^2 - (3n-1)^2 = 144$

$(k + 3n - 1)(k - 3n + 1) = 144$

$k+3n-1 = A$、 $k-3n+1 = B$ とすると、$AB = 144$ となり、$A,B$ は整数の組です。

$A+B = (k+3n-1)+(k-3n+1) = 2k$ となり、 $A+B$ は偶数なので、$A$ と $B$ はともに偶数である必要があります。

$A-B = (k+3n-1)-(k-3n+1) = 6n-2$ なので、これも偶数であることがわかります。

$AB=144$ となる偶数の組 $(A, B)$ を考えると、

$(A, B) = (2, 72), (4, 36), (6, 24), (8, 18), (12, 12), (18, 8), (24, 6), (36, 4), (72, 2)$ が考えられます。

$6n-2 = A-B$ より、$n = \frac{A-B+2}{6}$ となります。

1. $(2, 72): n = \frac{2-72+2}{6} = \frac{-68}{6} = -\frac{34}{3}$ (不適)

2. $(4, 36): n = \frac{4-36+2}{6} = \frac{-30}{6} = -5$ (不適)

3. $(6, 24): n = \frac{6-24+2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$ (不適)

4. $(8, 18): n = \frac{8-18+2}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ (不適)

5. $(12, 12): n = \frac{12-12+2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (不適)

6. $(18, 8): n = \frac{18-8+2}{6} = \frac{12}{6} = 2$

7. $(24, 6): n = \frac{24-6+2}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ (不適)

8. $(36, 4): n = \frac{36-4+2}{6} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}$ (不適)

9. $(72, 2): n = \frac{72-2+2}{6} = \frac{72}{6} = 12$

$n=2$ のとき、$m = \frac{(2+1) \pm \sqrt{9(2)^2 - 6(2) + 145}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{36-12+145}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{3 \pm 13}{4}$

$m = \frac{3+13}{4} = \frac{16}{4} = 4$ または $m = \frac{3-13}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$ (不適)

$n=12$ のとき、$m = \frac{(12+1) \pm \sqrt{9(12)^2 - 6(12) + 145}}{4} = \frac{13 \pm \sqrt{1296 - 72 + 145}}{4} = \frac{13 \pm \sqrt{1369}}{4} = \frac{13 \pm 37}{4}$

$m = \frac{13+37}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$ (不適) または $m = \frac{13-37}{4} = \frac{-24}{4} = -6$ (不適)

したがって、$m=4, n=2$ のみが解となります。

3. 最終的な答え

$m = 4, n = 2$