行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列計算を行いなさい。 (1) $^tA$ (2) $^tB$ (3) $^tB {}^tA$ (4) $AB$ (5) $^t(AB)$ (6) $^tBB$ (7) $B {}^tB$ (8) $^tA + 3B$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列計算を行いなさい。

(1) $^tA$

(2) $^tB$

(3) $^tB {}^tA$

(4) $AB$

(5) $^t(AB)$

(6) $^tBB$

(7) $B {}^tB$

(8) $^tA + 3B$

2. 解き方の手順

(1) $^tA$ は行列 $A$ の転置行列です。行と列を入れ替えます。

$^tA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $^tB$ は行列 $B$ の転置行列です。行と列を入れ替えます。

$^tB = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

(3) $^tB {}^tA$ を計算します。まず、$^tB$ と $^tA$ の積を計算します。

$^tB {}^tA = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + (-2)\cdot(-1) + 3\cdot3 & 1\cdot1 + (-2)\cdot0 + 3\cdot(-2) \\ 3\cdot2 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot3 & 3\cdot1 + 2\cdot0 + (-1)\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2+9 & 1+0-6 \\ 6-2-3 & 3+0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

(4) $AB$ を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + (-1)\cdot(-2) + 3\cdot3 & 2\cdot3 + (-1)\cdot2 + 3\cdot(-1) \\ 1\cdot1 + 0\cdot(-2) + (-2)\cdot3 & 1\cdot3 + 0\cdot2 + (-2)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2+9 & 6-2-3 \\ 1+0-6 & 3+0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 1 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$

(5) $^t(AB)$ は $AB$ の転置行列です。

$^t(AB) = \begin{pmatrix} 13 & -5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

(6) $^tBB$ を計算します。

$^tBB = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + (-2)\cdot(-2) + 3\cdot3 & 1\cdot3 + (-2)\cdot2 + 3\cdot(-1) \\ 3\cdot1 + 2\cdot(-2) + (-1)\cdot3 & 3\cdot3 + 2\cdot2 + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4+9 & 3-4-3 \\ 3-4-3 & 9+4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & -4 \\ -4 & 14 \end{pmatrix}$

(7) $B {}^tB$ を計算します。

$B {}^tB = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 3\cdot3 & 1\cdot(-2) + 3\cdot2 & 1\cdot3 + 3\cdot(-1) \\ -2\cdot1 + 2\cdot3 & -2\cdot(-2) + 2\cdot2 & -2\cdot3 + 2\cdot(-1) \\ 3\cdot1 + (-1)\cdot3 & 3\cdot(-2) + (-1)\cdot2 & 3\cdot3 + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+9 & -2+6 & 3-3 \\ -2+6 & 4+4 & -6-2 \\ 3-3 & -6-2 & 9+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 4 & 0 \\ 4 & 8 & -8 \\ 0 & -8 & 10 \end{pmatrix}$

(8) $^tA + 3B$ を計算します。これは定義されていません。なぜなら $^tA$ は $3 \times 2$ 行列で、$3B$ は $3 \times 2$ 行列である必要がありますが、$B$ は $3 \times 2$行列なので$3B$も$3\times 2$行列です。 しかし、$A^t$は$3\times 2$行列なので和をとることはできません。

$^tA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$. $3B = 3\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -6 & 6 \\ 9 & -3 \end{pmatrix}$　これは定義されていません。

$^tA+3B = \begin{pmatrix} 2+3 & 1+9 \\ -1-6 & 0+6 \\ 3+9 & -2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -7 & 6 \\ 12 & -5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $^tA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $^tB = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

(3) $^tB {}^tA = \begin{pmatrix} 13 & -5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

(4) $AB = \begin{pmatrix} 13 & 1 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$

(5) $^t(AB) = \begin{pmatrix} 13 & -5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

(6) $^tBB = \begin{pmatrix} 14 & -4 \\ -4 & 14 \end{pmatrix}$

(7) $B {}^tB = \begin{pmatrix} 10 & 4 & 0 \\ 4 & 8 & -8 \\ 0 & -8 & 10 \end{pmatrix}$

(8) $^tA + 3B = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -7 & 6 \\ 12 & -5 \end{pmatrix}$