(4) 次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。 ① $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ ② $\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1}$ テーブル形式で穴埋め形式になっています。 (1)① $\frac{2y}{x}$ の不定形を埋める問題 (1)② $\frac{x}{x-3}$ の不定形を埋める問題 (2)③ $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ の不定形を埋める問題 (2)④ $\frac{x+1}{x-1}$ の不定形を埋める問題 (3) ①,②,④ の組み合わせを選択する問題 (4)① $a=2$, $b=-3$ の時の $c$ を求める問題 (4)② $a=1$, $b=-2$ の時の $b$ を求める問題

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(4) 次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。

① $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

② $\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1}$

テーブル形式で穴埋め形式になっています。

(1)① $\frac{2y}{x}$ の不定形を埋める問題

(1)② $\frac{x}{x-3}$ の不定形を埋める問題

(2)③ $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ の不定形を埋める問題

(2)④ $\frac{x+1}{x-1}$ の不定形を埋める問題

(3) ①,②,④ の組み合わせを選択する問題

(4)① $a=2$, $b=-3$ の時の $c$ を求める問題

(4)② $a=1$, $b=-2$ の時の $b$ を求める問題

2. 解き方の手順

(1)① $\frac{2y}{x}$ の不定形を埋める問題：問題に記載なしのためスキップ

(1)② $\frac{x}{x-3}$ の不定形を埋める問題：$\frac{x}{x-3} = \frac{x-3+3}{x-3} = 1 + \frac{3}{x-3}$

したがって、不定形は $x-3$

(2)③ $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ の不定形を埋める問題：$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$とおくと、

$1 = A(x+2) + B(x+1)$

$x = -1$ のとき $1 = A(-1+2) + 0 \implies A=1$

$x = -2$ のとき $1 = 0 + B(-2+1) \implies B=-1$

したがって、$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

不定形は$\frac{1}{(x+1)(x+2)}$

(2)④ $\frac{x+1}{x-1}$ の不定形を埋める問題：$\frac{x+1}{x-1} = \frac{x-1+2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$

したがって、不定形は$\frac{x+1}{x-1}$

(3) ①,②,④ の組み合わせを選択する問題：問題に記載なしのためスキップ

(4)① $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ の時の $c$ を求める問題:

$a=2, b=-3$ を代入すると、

$2x^2 - 7x - 1 = 2(x-1)^2 -3(x-1) + c$

$2x^2 - 7x - 1 = 2(x^2 - 2x + 1) - 3x + 3 + c$

$2x^2 - 7x - 1 = 2x^2 - 4x + 2 - 3x + 3 + c$

$2x^2 - 7x - 1 = 2x^2 - 7x + 5 + c$

$-1 = 5 + c \implies c = -6$

(4)② $\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1}$ の時の $b$ を求める問題:

$a=1, b=-2$ を代入すると、

$\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{3x-1}$

$x+1 = A(3x-1) + B(x-1)$

$x=1$ のとき $1+1 = A(3(1)-1) + 0 \implies 2 = 2A \implies A = 1$

$x=\frac{1}{3}$ のとき $\frac{1}{3} + 1 = 0 + B(\frac{1}{3} - 1) \implies \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}B \implies B = -2$

したがって、$b=-2$

3. 最終的な答え

(1)① スキップ

(1)② $x-3$

(2)③ $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$

(2)④ $\frac{x+1}{x-1}$

(3) スキップ

(4)① $c = -6$

(4)② $b=-2$