2次関数 $f(x) = x^2 - x - 2$ について以下の問いに答えます。 (1) 関数が最小値をとるときの $x$ 座標の値を求めます。 (2) $x$ 軸との交点の値を求めます。 (3) (1)と(2)の解答をヒントに、2次関数を描きます。(グラフの描画は省略します)

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - x - 2$ について以下の問いに答えます。

(1) 関数が最小値をとるときの $x$ 座標の値を求めます。

(2) $x$ 軸との交点の値を求めます。

(3) (1)と(2)の解答をヒントに、2次関数を描きます。(グラフの描画は省略します)

2. 解き方の手順

(1) 関数が最小値をとるときの $x$ 座標を求める。

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - x - 2$ は下に凸の放物線であるため、頂点の $x$ 座標が最小値をとる $x$ 座標となります。

頂点の $x$ 座標を求めるには、平方完成を行うか、微分を利用します。

(a) 平方完成による解法:

$f(x) = x^2 - x - 2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

よって、頂点の座標は $(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$ となり、最小値をとる $x$ 座標は $\frac{1}{2}$ です。

(b) 微分による解法:

$f'(x) = 2x - 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x - 1 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

よって、最小値をとる $x$ 座標は $\frac{1}{2}$ です。

(2) $x$ 軸との交点の値を求める。

$x$ 軸との交点は、$f(x) = 0$ となる $x$ を求めることで得られます。

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

よって、$x = 2, -1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 最小値をとる $x$ 座標: $\frac{1}{2}$

(2) $x$ 軸との交点の値: $x = 2, -1$