与えられた二つの不等式を解きます。 (1) $\frac{x-5}{x-1} > 0$ (2) $\frac{2x}{x-1} - 1 < 0$

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式を解きます。

(1) $\frac{x-5}{x-1} > 0$

(2) $\frac{2x}{x-1} - 1 < 0$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x-5}{x-1} > 0$ の場合

分数不等式を解くには、分子と分母が共に正または共に負になる場合を考えます。

場合1: 分子と分母が共に正の場合

$x-5 > 0$ かつ $x-1 > 0$

$x > 5$ かつ $x > 1$

共通範囲は $x > 5$

場合2: 分子と分母が共に負の場合

$x-5 < 0$ かつ $x-1 < 0$

$x < 5$ かつ $x < 1$

共通範囲は $x < 1$

(2) $\frac{2x}{x-1} - 1 < 0$ の場合

まず、左辺をまとめます。

$\frac{2x - (x-1)}{x-1} < 0$

$\frac{2x - x + 1}{x-1} < 0$

$\frac{x+1}{x-1} < 0$

分数不等式を解くには、分子と分母が異符号になる場合を考えます。

場合1: 分子が正で分母が負の場合

$x+1 > 0$ かつ $x-1 < 0$

$x > -1$ かつ $x < 1$

共通範囲は $-1 < x < 1$

場合2: 分子が負で分母が正の場合

$x+1 < 0$ かつ $x-1 > 0$

$x < -1$ かつ $x > 1$

この場合、共通範囲は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $x < 1$ または $x > 5$

(2) $-1 < x < 1$