与えられた行列 $\begin{bmatrix} -2 & -2 & -6 & -26 \\ 2 & 1 & 4 & 18 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 15 \end{bmatrix}$ に掃き出し法を行うと、一度だけ列のランク落ちが起きる。それは何列目か答えよ。

1. 問題の内容

与えられた行列

$\begin{bmatrix}

-2 & -2 & -6 & -26 \\

2 & 1 & 4 & 18 \\

0 & -1 & 1 & 1 \\

1 & 2 & 3 & 15

\end{bmatrix}$

に掃き出し法を行うと、一度だけ列のランク落ちが起きる。それは何列目か答えよ。

2. 解き方の手順

掃き出し法を行って、行列を簡約化します。

まず、1行目を-1/2倍します。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & 13 \\

2 & 1 & 4 & 18 \\

0 & -1 & 1 & 1 \\

1 & 2 & 3 & 15

\end{bmatrix}$

次に、2行目から1行目の2倍を引き、4行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & 13 \\

0 & -1 & -2 & -8 \\

0 & -1 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 2

\end{bmatrix}$

次に、2行目を-1倍します。

$\begin{bmatrix}

1 & 1 & 3 & 13 \\

0 & 1 & 2 & 8 \\

0 & -1 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 2

\end{bmatrix}$

次に、1行目から2行目を引き、3行目に2行目を加え、4行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 1 & 5 \\

0 & 1 & 2 & 8 \\

0 & 0 & 3 & 9 \\

0 & 0 & -2 & -6

\end{bmatrix}$

次に、3行目を1/3倍します。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 1 & 5 \\

0 & 1 & 2 & 8 \\

0 & 0 & 1 & 3 \\

0 & 0 & -2 & -6

\end{bmatrix}$

次に、1行目から3行目を引き、2行目から3行目の2倍を引き、4行目に3行目の2倍を加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 1 & 3 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

掃き出し法の結果、4列目が他の列の線形結合で表されることがわかります。具体的には、4列目は1列目の2倍、2列目の2倍、3列目の3倍になっています。

したがって、一度だけ列のランク落ちが起きるのは4列目です。

3. 最終的な答え

4列目