$(x^2 - \frac{2}{x})^6$ の展開式における $x^3$ の係数と定数項を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x^2 - \frac{2}{x})^6$ の展開式における $x^3$ の係数と定数項を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を使って展開します。一般項は

$${}_6 C_r (x^2)^{6-r} (-\frac{2}{x})^r = {}_6 C_r x^{12-2r} (-2)^r x^{-r} = {}_6 C_r (-2)^r x^{12-3r}$$

となります。

まず、$x^3$ の係数を求めます。$x^3$ の項は、

$12-3r = 3$ となる $r$ を求めれば良いです。

$3r = 9$ より $r=3$ となります。

したがって、$x^3$ の係数は

$${}_6 C_3 (-2)^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} (-8) = 20 \cdot (-8) = -160$$

となります。

次に、定数項を求めます。定数項は $x^0$ の項なので、

$12-3r = 0$ となる $r$ を求めれば良いです。

$3r = 12$ より $r=4$ となります。

したがって、定数項は

$${}_6 C_4 (-2)^4 = {}_6 C_2 \cdot 16 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 16 = 15 \cdot 16 = 240$$

となります。

3. 最終的な答え

$x^3$ の係数は $-160$ であり、定数項は $240$ です。