(1) 関数 $y = -x^2 + 4ax + 4$ ($0 \le x \le 4$) について、最大値と最小値を求めよ。 (2) 関数 $y = x^2 + 2ax - 3$ ($0 \le x \le 2$) について、最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -x^2 + 4ax + 4$ ($0 \le x \le 4$) について、最大値と最小値を求めよ。

(2) 関数 $y = x^2 + 2ax - 3$ ($0 \le x \le 2$) について、最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 + 4ax + 4$ の場合

(ア) 最大値を求める。

まず平方完成する。

$y = -(x^2 - 4ax) + 4 = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) + 4 = -(x - 2a)^2 + 4a^2 + 4$

軸は $x = 2a$ である。定義域は $0 \le x \le 4$ である。

(i) $2a < 0$ つまり $a < 0$ のとき、$x=0$ で最大値をとる。最大値は $y = -0^2 + 4a(0) + 4 = 4$

(ii) $0 \le 2a \le 4$ つまり $0 \le a \le 2$ のとき、$x=2a$ で最大値をとる。最大値は $y = 4a^2 + 4$

(iii) $2a > 4$ つまり $a > 2$ のとき、$x=4$ で最大値をとる。最大値は $y = -4^2 + 4a(4) + 4 = -16 + 16a + 4 = 16a - 12$

(イ) 最小値を求める。

(i) $2a \le 2$ つまり $a \le 1$ のとき、$x=4$ で最小値をとる。最小値は $16a-12$

(ii) $2a \ge 2$ つまり $a \ge 1$ のとき、$x=0$ で最小値をとる。最小値は $4$

(2) $y = x^2 + 2ax - 3$ の場合

まず平方完成する。

$y = (x^2 + 2ax) - 3 = (x^2 + 2ax + a^2 - a^2) - 3 = (x+a)^2 - a^2 - 3$

軸は $x = -a$ である。定義域は $0 \le x \le 2$ である。

(i) $-a < 0$ つまり $a > 0$ のとき、$x=0$ で最大値をとる。最大値は $y = 0^2 + 2a(0) - 3 = -3$

(ii) $-a > 2$ つまり $a < -2$ のとき、$x=2$ で最大値をとる。最大値は $y = 2^2 + 2a(2) - 3 = 4 + 4a - 3 = 4a + 1$

(iii) $-2 \le -a \le 0$ つまり $0 \le a \le 2$ のとき、$x=2$ で最大値をとる。最大値は $y = 2^2 + 2a(2) - 3 = 4 + 4a - 3 = 4a + 1$

最小値は、

(i) $-a \le 0$ つまり $a \ge 0$ のとき、$x=0$で最小値をとる。最小値は $y = -3$。

(ii) $-a \ge 2$ つまり $a \le -2$ のとき、$x=2$で最小値をとる。最小値は $y = 4+4a-3 = 4a+1$。

(iii) $-2 \le a \le 0$ のとき、$x=-a$で最小値をとる。最小値は $y = -a^2 - 3$。

3. 最終的な答え

(1)

(ア)

$a < 0$ のとき、最大値は $4$

$0 \le a \le 2$ のとき、最大値は $4a^2 + 4$

$a > 2$ のとき、最大値は $16a - 12$

(イ)

$a \le 1$ のとき、最小値は $16a-12$

$a \ge 1$ のとき、最小値は $4$

(2)

最大値:

$a < -2$ のとき、$4a+1$

$a \ge 0$ のとき、$4a+1$

$-2 \le a < 0$のとき、$4a+1$

最小値:

$a \le -2$のとき、$4a+1$

$0 \le a$のとき、$-3$

$-2 \le a \le 0$のとき、$-a^2-3$