$ \frac{1}{2-\sqrt{3}} $ の整数の部分を $ a $、小数部分を $ b $ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $ a $ と $ b $ の値を求めよ。 (2) $ a+2b+b^2+1 $ の値を求めよ。

## 問題70

1. 問題の内容

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化する。

$$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$$

$\sqrt{3}$ は、$1 < \sqrt{3} < 2$ であるから、$2+\sqrt{3}$ は $3$ と $4$ の間の数である。

したがって、$a = 3$ である。

また、小数部分 $b$ は、$b = (2+\sqrt{3}) - a = (2+\sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3} - 1$ である。

(2) $a+2b+b^2+1$ に、$a=3$、$b=\sqrt{3}-1$ を代入する。

$$a+2b+b^2+1 = 3 + 2(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1)^2 + 1$$

$$= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 1$$

$$= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + 4 - 2\sqrt{3} + 1 = 6$$

3. 最終的な答え

問題70

(1) $a = 3$、$b = \sqrt{3} - 1$

(2) $6$

## 問題71

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2}+1$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x^2 - 2x$

(2) $x^3 - x^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 2x$ に $x = \sqrt{2}+1$ を代入する。

$$x^2 - 2x = (\sqrt{2}+1)^2 - 2(\sqrt{2}+1) = (2 + 2\sqrt{2} + 1) - (2\sqrt{2} + 2) = 3 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2 = 1$$

(2) $x^3 - x^2$ を因数分解すると、$x^3 - x^2 = x^2(x-1)$

$x = \sqrt{2}+1$ より、$x-1 = \sqrt{2}+1 - 1 = \sqrt{2}$

したがって、$x^2(x-1) = (\sqrt{2}+1)^2 \cdot \sqrt{2} = (2 + 2\sqrt{2} + 1) \cdot \sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 4$

3. 最終的な答え

問題71

(1) $1$

(2) $4+3\sqrt{2}$