$\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6$ の展開式における $x^3$ の係数と定数項を求める問題です。

1. 問題の内容

$\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6$ の展開式における $x^3$ の係数と定数項を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式の一般項を求め、そこから $x^3$ の係数と定数項を求めます。

$\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6$ の展開式の一般項は、

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{}_6 C_r (x^2)^{6-r} \left(-\frac{2}{x}\right)^r = {}_6 C_r x^{12-2r} (-2)^r x^{-r} = {}_6 C_r (-2)^r x^{12-3r}

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で与えられます。

$x^3$ の係数を求めるには、$12 - 3r = 3$ を解きます。

$12 - 3r = 3$ より、$3r = 9$ なので、$r = 3$ となります。

したがって、$x^3$ の項は

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{}_6 C_3 (-2)^3 x^3 = \frac{6!}{3!3!} (-8) x^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} (-8) x^3 = 20 (-8) x^3 = -160 x^3

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よって、$x^3$ の係数は $-160$ です。

定数項を求めるには、$12 - 3r = 0$ を解きます。

$12 - 3r = 0$ より、$3r = 12$ なので、$r = 4$ となります。

したがって、定数項は

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{}_6 C_4 (-2)^4 = {}_6 C_2 (16) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} (16) = 15 (16) = 240

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よって、定数項は $240$ です。

3. 最終的な答え

$x^3$ の係数は $-160$ であり、定数項は $240$ です。