$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x^3y + xy^3$ (2) $4x^2 + 7xy + 4y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x^3y + xy^3$

(2) $4x^2 + 7xy + 4y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$と変形する。

さらに、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$と変形できるので、$xy(x^2 + y^2) = xy((x+y)^2 - 2xy)$となる。

$x+y$と$xy$の値を求める。

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

$x+y = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

$xy = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

よって、$xy((x+y)^2 - 2xy) = 1(4^2 - 2(1)) = 1(16 - 2) = 14$

(2) $4x^2 + 7xy + 4y^2 = 4(x^2 + y^2) + 7xy = 4((x+y)^2 - 2xy) + 7xy = 4(x+y)^2 - 8xy + 7xy = 4(x+y)^2 - xy$

$x+y = 4$, $xy = 1$より、$4(4)^2 - 1 = 4(16) - 1 = 64 - 1 = 63$

3. 最終的な答え

(1) 14

(2) 63