次の3つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ (2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ (3) $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$

1. 問題の内容

次の3つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$

(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

(3) $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$

まず、$1+\sqrt{5}$ を一つの項と見て、分母分子に $1+\sqrt{5}-\sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}} = \frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}} \cdot \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}} = \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{(1+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{1+2\sqrt{5}+5-6} = \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

次に、分母分子に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \frac{(1+\sqrt{5}-\sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{10}$

(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

まず、$1+\sqrt{3}$を一つの項と見て、分母分子に $1+\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{1+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{6}+3-\sqrt{2}+2+\sqrt{6}}{1+2\sqrt{3}+3-2} = \frac{6-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}} = \frac{3-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

次に、分母分子に $1-\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{3-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = \frac{(3-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3-3\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{3}-3}{1-3} = \frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{-2} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$

まず、$3+\sqrt{3}$を一つの項と見て、分母分子に $3+\sqrt{3}-\sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}} = \frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{(3+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{9+6\sqrt{3}+3-6} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6+6\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6(1+\sqrt{3})}$

次に、分母分子に $1-\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6(1+\sqrt{3})} = \frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{6(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3-3\sqrt{3}+\sqrt{3}-3-\sqrt{6}+\sqrt{18}}{6(1-3)} = \frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{-12} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}+5-\sqrt{30}}{10}$

(2) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{12}$