放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ を平行移動した曲線で、2点 $(1, 1)$ と $(2, 3)$ を通る放物線を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ を平行移動した曲線で、2点 $(1, 1)$ と $(2, 3)$ を通る放物線を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ を平行移動したグラフは、$y = (x-p)^2 - 3(x-p) + 2 + q$ と表せる。ただし、$p, q$ は定数である。

これを整理すると、

$y = x^2 - 2px + p^2 - 3x + 3p + 2 + q$

$y = x^2 - (2p + 3)x + p^2 + 3p + 2 + q$

さらに、

$y = x^2 + ax + b$

とおくと、これは $y = x^2 - 3x + 2$ を平行移動したものなので、$a$ と $b$ を求める。

点 $(1, 1)$ と $(2, 3)$ を通るので、

$1 = 1^2 + a(1) + b$

$3 = 2^2 + a(2) + b$

これらの式から $a$ と $b$ を求められる。

最初の式より、$1 = 1 + a + b$ なので、$a + b = 0$ 。

次の式より、$3 = 4 + 2a + b$ なので、$2a + b = -1$ 。

2つの式を連立して解くと、

$2a + b - (a + b) = -1 - 0$

$a = -1$

$b = -a = 1$

よって、求める放物線は $y = x^2 - x + 1$ となる。

3. 最終的な答え

$y = x^2 - x + 1$