$\log_2 125 \cdot \log_3 16 \cdot \log_5 27$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\log_2 125 \cdot \log_3 16 \cdot \log_5 27$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

対数の底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いて、それぞれの対数を共通の底（ここでは10）に変換します。

$\log_2 125 = \frac{\log 125}{\log 2} = \frac{\log 5^3}{\log 2} = \frac{3 \log 5}{\log 2}$

$\log_3 16 = \frac{\log 16}{\log 3} = \frac{\log 2^4}{\log 3} = \frac{4 \log 2}{\log 3}$

$\log_5 27 = \frac{\log 27}{\log 5} = \frac{\log 3^3}{\log 5} = \frac{3 \log 3}{\log 5}$

したがって、

$\log_2 125 \cdot \log_3 16 \cdot \log_5 27 = \frac{3 \log 5}{\log 2} \cdot \frac{4 \log 2}{\log 3} \cdot \frac{3 \log 3}{\log 5}$

$= \frac{3 \log 5 \cdot 4 \log 2 \cdot 3 \log 3}{\log 2 \cdot \log 3 \cdot \log 5} = 3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$

3. 最終的な答え

36