問題は2つあります。 (1) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開して簡単にせよ。 (2) $a^3 - (b-1)^3$ を因数分解せよ。 さらに、$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$ を利用して、$x^3+y^3+z^3-3xyz$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開して簡単にせよ。

(2) $a^3 - (b-1)^3$ を因数分解せよ。

さらに、$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$ を利用して、$x^3+y^3+z^3-3xyz$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ の展開

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開します。

\begin{align*}

(a+b)(b+c)(c+a) &= (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) \\

&= abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc \\

&= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc

\end{align*}

これに $abc$ を加えると、

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

この式は因数分解できて、$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$ となります。

(2) $a^3 - (b-1)^3$ の因数分解

$a^3 - (b-1)^3 = (a - (b-1))(a^2 + a(b-1) + (b-1)^2) = (a - b + 1)(a^2 + ab - a + b^2 - 2b + 1)$

(3) $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$ を利用して、$x^3+y^3+z^3-3xyz$ を因数分解する。

$x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz = (x+y)^3+z^3-3xy(x+y)-3xyz$

$((x+y)+z)^3-3(x+y)z((x+y)+z)-3xy(x+y)-3xyz = (x+y+z)^3-3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y+z)$

$=(x+y+z)((x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-3xz-3yz-3xy)$

$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b+c)(ab+bc+ca)$

(2) $(a-b+1)(a^2 + ab - a + b^2 - 2b + 1)$

(3) $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$