媒介変数 $t$ を用いて表された点 $P(x, y)$ の軌跡の方程式を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合に軌跡を求めます。 (7) $\begin{cases} x = -t + 3 \\ y = 2t - 1 \end{cases}$ (8) $\begin{cases} x = 2t + 1 \\ y = 3t^2 \end{cases}$

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて表された点 $P(x, y)$ の軌跡の方程式を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合に軌跡を求めます。

(7) $\begin{cases} x = -t + 3 \\ y = 2t - 1 \end{cases}$

(8) $\begin{cases} x = 2t + 1 \\ y = 3t^2 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(7) の場合:

* $x = -t + 3$ より、$t = 3 - x$ を得ます。

* この $t$ を $y = 2t - 1$ に代入します。

$y = 2(3 - x) - 1$

* これを整理すると、軌跡の方程式が得られます。

(8) の場合:

* $x = 2t + 1$ より、$t = \frac{x - 1}{2}$ を得ます。

* この $t$ を $y = 3t^2$ に代入します。

$y = 3 \left(\frac{x - 1}{2}\right)^2$

* これを整理すると、軌跡の方程式が得られます。

3. 最終的な答え

(7) の場合:

$y = 2(3 - x) - 1$

$y = 6 - 2x - 1$

$y = -2x + 5$

したがって、軌跡の方程式は $y = -2x + 5$ です。

(8) の場合:

$y = 3 \left(\frac{x - 1}{2}\right)^2$

$y = 3 \cdot \frac{(x - 1)^2}{4}$

$y = \frac{3}{4}(x - 1)^2$

したがって、軌跡の方程式は $y = \frac{3}{4}(x - 1)^2$ です。