不等式 $|2|x| - 3| = x + 2$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $|2|x| - 3| = x + 2$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$|x|$ の場合分けを行います。

(i) $x \geq 0$ のとき、$|x| = x$ であるから、$|2x - 3| = x + 2$ となります。

さらに、$2x - 3$ の場合分けを行います。

(i-a) $2x - 3 \geq 0$ つまり $x \geq \frac{3}{2}$ のとき、$|2x - 3| = 2x - 3$ であるから、$2x - 3 = x + 2$ となります。これを解くと、$x = 5$ となります。$x \geq \frac{3}{2}$ を満たすので、$x=5$ は解の一つです。

(i-b) $2x - 3 < 0$ つまり $0 \leq x < \frac{3}{2}$ のとき、$|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$ であるから、$-2x + 3 = x + 2$ となります。これを解くと、$3x = 1$ より $x = \frac{1}{3}$ となります。$0 \leq x < \frac{3}{2}$ を満たすので、$x = \frac{1}{3}$ は解の一つです。

(ii) $x < 0$ のとき、$|x| = -x$ であるから、$|-2x - 3| = x + 2$ となります。

さらに、$-2x - 3$ の場合分けを行います。

(ii-a) $-2x - 3 \geq 0$ つまり $x \leq -\frac{3}{2}$ のとき、$|-2x - 3| = -2x - 3$ であるから、$-2x - 3 = x + 2$ となります。これを解くと、$3x = -5$ より $x = -\frac{5}{3}$ となります。$x \leq -\frac{3}{2}$ を満たすので、$x = -\frac{5}{3}$ は解の一つです。

(ii-b) $-2x - 3 < 0$ つまり $-\frac{3}{2} < x < 0$ のとき、$|-2x - 3| = -(-2x - 3) = 2x + 3$ であるから、$2x + 3 = x + 2$ となります。これを解くと、$x = -1$ となります。$-\frac{3}{2} < x < 0$ を満たすので、$x = -1$ は解の一つです。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{5}{3}, -1, \frac{1}{3}, 5$