実数 $k$ を定数とする。$xy$ 平面上の放物線 $y = x^2 + 4kx + 2k^2 + 4k + 1$ について、以下の問いに答えよ。 (9) 頂点の座標を $(X, Y)$ とおく。$X, Y$ をそれぞれ $k$ の式で表せ。 (10) 頂点の軌跡の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $k$ を定数とする。$xy$ 平面上の放物線 $y = x^2 + 4kx + 2k^2 + 4k + 1$ について、以下の問いに答えよ。

(9) 頂点の座標を $(X, Y)$ とおく。$X, Y$ をそれぞれ $k$ の式で表せ。

(10) 頂点の軌跡の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(9)

まず、放物線 $y = x^2 + 4kx + 2k^2 + 4k + 1$ を平方完成します。

$y = (x^2 + 4kx) + 2k^2 + 4k + 1$

$y = (x + 2k)^2 - (2k)^2 + 2k^2 + 4k + 1$

$y = (x + 2k)^2 - 4k^2 + 2k^2 + 4k + 1$

$y = (x + 2k)^2 - 2k^2 + 4k + 1$

したがって、放物線の頂点の座標は $(-2k, -2k^2 + 4k + 1)$ となります。

頂点の座標を $(X, Y)$ とおくと、

$X = -2k$

$Y = -2k^2 + 4k + 1$

(10)

$X = -2k$ より、 $k = -\frac{X}{2}$。

これを $Y$ の式に代入します。

$Y = -2\left(-\frac{X}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{X}{2}\right) + 1$

$Y = -2\left(\frac{X^2}{4}\right) - 2X + 1$

$Y = -\frac{1}{2}X^2 - 2X + 1$

$Y = -\frac{1}{2}(X^2 + 4X) + 1$

$Y = -\frac{1}{2}(X^2 + 4X + 4 - 4) + 1$

$Y = -\frac{1}{2}(X + 2)^2 + 2 + 1$

$Y = -\frac{1}{2}(X + 2)^2 + 3$

よって、頂点の軌跡の方程式は $y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 3$ となります。

3. 最終的な答え

(9)

$X = -2k$

$Y = -2k^2 + 4k + 1$

(10)

$y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 3$