与えられた2次関数を平方完成し、グラフの頂点を求め、グラフの概形を描く問題です。 (5) $y = x^2 + x - 1$ (6) $y = -2x^2 + 6x$

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成し、グラフの頂点を求め、グラフの概形を描く問題です。

(5) $y = x^2 + x - 1$

(6) $y = -2x^2 + 6x$

2. 解き方の手順

(5) $y = x^2 + x - 1$

* 平方完成を行います。

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 - 1$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 1$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

* 頂点の座標は $(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4})$

* 軸は $x = -\frac{1}{2}$

* $y$切片は $x=0$のとき、$y=0^2 + 0 - 1 = -1$

* $x$切片は $y=0$のとき、$x^2+x-1=0$. 解の公式を使うと、$x=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

(6) $y = -2x^2 + 6x$

* 平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - 3x)$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 -2(-\frac{9}{4})$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}$

* 頂点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

* 軸は $x = \frac{3}{2}$

* $y$切片は $x=0$のとき、$y=-2(0^2)+6(0) = 0$

* $x$切片は $y=0$のとき、 $-2x^2+6x=0$. $-2x(x-3) = 0$ より、$x=0, 3$

3. 最終的な答え

(5) $y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{5}{4})$

軸: $x = -\frac{1}{2}$

(6) $y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2}$

頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

軸: $x = \frac{3}{2}$