二項定理を利用して、$(x+2)^5$と$(x-y)^6$を展開する問題です。

1. 問題の内容

二項定理を利用して、$(x+2)^5$と$(x-y)^6$を展開する問題です。

2. 解き方の手順

二項定理は以下の式で表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k} b^k$

ここで、${}_nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$は二項係数です。

(1) $(x+2)^5$の展開

二項定理より、

$(x+2)^5 = {}_5C_0 x^5 2^0 + {}_5C_1 x^4 2^1 + {}_5C_2 x^3 2^2 + {}_5C_3 x^2 2^3 + {}_5C_4 x^1 2^4 + {}_5C_5 x^0 2^5$

係数を計算します。

${}_5C_0 = 1$

${}_5C_1 = 5$

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

${}_5C_4 = 5$

${}_5C_5 = 1$

したがって、

$(x+2)^5 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot 2 + 10 \cdot x^3 \cdot 4 + 10 \cdot x^2 \cdot 8 + 5 \cdot x \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 32$

$= x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

(2) $(x-y)^6$の展開

二項定理より、

$(x-y)^6 = {}_6C_0 x^6 (-y)^0 + {}_6C_1 x^5 (-y)^1 + {}_6C_2 x^4 (-y)^2 + {}_6C_3 x^3 (-y)^3 + {}_6C_4 x^2 (-y)^4 + {}_6C_5 x^1 (-y)^5 + {}_6C_6 x^0 (-y)^6$

係数を計算します。

${}_6C_0 = 1$

${}_6C_1 = 6$

${}_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

${}_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

${}_6C_5 = 6$

${}_6C_6 = 1$

したがって、

$(x-y)^6 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-y) + 15 \cdot x^4 \cdot y^2 + 20 \cdot x^3 \cdot (-y^3) + 15 \cdot x^2 \cdot y^4 + 6 \cdot x \cdot (-y^5) + 1 \cdot 1 \cdot y^6$

$= x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6$

3. 最終的な答え

$(x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

$(x-y)^6 = x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6$