$\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{27}} - \frac{1}{\sqrt{12}}$ を計算せよ。

## 61 (1)の問題

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{27}} - \frac{1}{\sqrt{12}}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化し、根号の中を簡単にします。

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

よって、与式は

$\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}}$

各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{9}$

$\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{27}} - \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{6}$

通分します。分母の最小公倍数は18なので、

$= \frac{6\sqrt{3}}{18} + \frac{2\sqrt{3}}{18} - \frac{3\sqrt{3}}{18}$

$= \frac{6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{18}$

$= \frac{5\sqrt{3}}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{3}}{18}$

## 61 (2)の問題

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

$= \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

$= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$

## 62 (1)の問題

1. 問題の内容

$\frac{1}{3 - \sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{3 - \sqrt{5}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{3 + \sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

したがって、

$\frac{1}{3 - \sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

$= \frac{3 + \sqrt{5} - (\sqrt{5} + 1)}{4}$

$= \frac{3 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - 1}{4}$

$= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## 62 (2)の問題

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{5 - 2\sqrt{10} + 2}{5 - 2} = \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{5 + 2\sqrt{10} + 2}{5 - 2} = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$

したがって、

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3} + \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$

$= \frac{7 - 2\sqrt{10} + 7 + 2\sqrt{10}}{3}$

$= \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{3}$