与えられた3つの式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\sqrt{9+4\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$ (2) $\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}}$ (3) $\frac{2}{\sqrt{10-2\sqrt{24}}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\sqrt{9+4\sqrt{4+2\sqrt{3}}}$

(2) $\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{10-2\sqrt{24}}}$

2. 解き方の手順

(1) 二重根号を外すことから始めます。

まず内側の $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ を考えます。

$4+2\sqrt{3} = (1+3)+2\sqrt{1\cdot3} = (\sqrt{1}+\sqrt{3})^2 = (1+\sqrt{3})^2$

したがって $\sqrt{4+2\sqrt{3}} = 1+\sqrt{3}$

次に、 $\sqrt{9+4\sqrt{4+2\sqrt{3}}} = \sqrt{9+4(1+\sqrt{3})} = \sqrt{13+4\sqrt{3}}$ を考えます。

$13+4\sqrt{3} = 13+2\sqrt{4\cdot4\cdot3} = 13+2\sqrt{48}$

$13+4\sqrt{3} = (12+1)+2\sqrt{12\cdot1} = (\sqrt{12}+\sqrt{1})^2 = (2\sqrt{3}+1)^2$

したがって $\sqrt{13+4\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}+1 = 1+2\sqrt{3}$

(2) 分母を有理化します。

$\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{7-5}} = \sqrt{\frac{7+2\sqrt{35}+5}{2}} = \sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}} = \sqrt{6+\sqrt{35}}$

$6+\sqrt{35} = (\frac{5}{2}+\frac{7}{2})+2\sqrt{\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{4}} = (\frac{\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}})^2$

したがって $\sqrt{6+\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{14}}{2}$

(3) 二重根号を外します。

$\frac{2}{\sqrt{10-2\sqrt{24}}}$

$10-2\sqrt{24} = 10-2\sqrt{6\cdot4} = (6+4)-2\sqrt{6\cdot4} = (\sqrt{6}-\sqrt{4})^2 = (\sqrt{6}-2)^2$

$\frac{2}{\sqrt{10-2\sqrt{24}}} = \frac{2}{\sqrt{(\sqrt{6}-2)^2}} = \frac{2}{\sqrt{6}-2} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{6-4} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{2} = \sqrt{6}+2$

3. 最終的な答え

(1) $1+2\sqrt{3}$

(2) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{14}}{2}$

(3) $\sqrt{6}+2$