$\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{6} = \frac{z+x}{7}$ (ただし $xyz \neq 0$) のとき、$\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{6} = \frac{z+x}{7}$ (ただし $xyz \neq 0$) のとき、$\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた比例式を $k$ とおくと、

$\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{6} = \frac{z+x}{7} = k$

これから、以下の3つの式が得られる。

$x+y = 3k$

$y+z = 6k$

$z+x = 7k$

これらの3つの式をすべて足し合わせると、

$2(x+y+z) = 16k$

$x+y+z = 8k$

この式と $x+y = 3k$ から $z = (x+y+z) - (x+y) = 8k - 3k = 5k$

同様に、$y+z = 6k$ から $x = (x+y+z) - (y+z) = 8k - 6k = 2k$

そして、$z+x = 7k$ から $y = (x+y+z) - (z+x) = 8k - 7k = k$

したがって、$x = 2k$, $y = k$, $z = 5k$ となる。

これを $\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$ に代入する。

$\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz} = \frac{(2k)^3 + k^3 + (5k)^3}{(2k)(k)(5k)} = \frac{8k^3 + k^3 + 125k^3}{10k^3} = \frac{134k^3}{10k^3} = \frac{134}{10} = \frac{67}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{67}{5}$